Türev

Diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, kabaca bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimini hesaplama tekniğidir. Bu türden bir f fonksiyonunun a noktasındaki türevi

lim_{hrightarrow 0}frac{f(a+h)-f(a)}{h}

limiti olarak tanımlanır. Bu limitin temsil ettiği oran aşağıdaki grafikte gösterilmiştir.

Yukarıdaki grafikte h değeri sıfıra yaklaştıkça, d doğrusu da y=f(a) eğrisine (a,f(a)) noktasındaki teğete yaklaşır. Burada

frac{f(a+h)-f(a)}{h}

ifadesinin de d doğrusunun eğimini verdiğine dikkat etmek gerekir.


Konu başlıkları[gizle]

//

Türev Alma [değiştir]

Türevlenebilir bir f fonksiyonu için her a noktasındaki değeri f fonksiyonun a noktasındaki türevi olan fonksiyona f fonksiyonun türevi denir ve bu fonksiyon f' sembolüyle gösterilir. Ayrıca

frac{d}{dx}f(x)=f'(x)

formülü de bu durumu ifade etmek için kullanılır..

Örnekler [değiştir]

Türevlenebilir Fonksiyonlar ve Türevleri [değiştir]
  • Herhangi bir sıfırdan farklı n reel sayısı için f(x) = xn fonksiyonu,
frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Bu eşitlik Binom Teoremi'nin bir sonucudur. (Bu formul yalnızca reel sayilarda kullanılır ! )


frac{d}{dx}sin(x)=cos(x)           frac{d}{dx}cos(x)=-sin(x)
  • ex fonksiyonu,
frac{d}{dx}e^x=e^x


Türevlenebilir Olmayan Fonksiyonlar [değiştir]
  • Mutlak değer fonksiyonu 0 noktasında türevli değildir. Nedeni, 0'da türevi tanımlayan
lim_{hrightarrow 0}frac{|0+h|-|0|}{h}

limitinin bulunamamasıdır. Diğer her noktada türevlidir.

  • sqrt[3]{x} fonksiyonu da 0'da türevli olmayıp başka her yerde türevli olan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun 0'da türevlenebilir olmayışının nedeni
lim_{hrightarrow 0}frac{sqrt[3]{0+h}-sqrt[3]{0}}{h}

limitinin infty, yani sonsuz olmasıdır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonunun grafiği 0 noktasında kırıkken, sqrt[3]{x} fonksiyonunun grafiği 0'da da kırılmasızdır.

Temel Teoremler [değiştir]

Çok karmaşık görünümlü fonksiyonların da türevlerini almamızı kolaylaştıracak teknikler (teoremler) mevcuttur.

  • (f + g)'(a) = f'(a) - g'(a) (Toplam Kuralı),
  • (f - g)'(a) = f'(a) - g'(a) (Fark Kuralı),
  • Herhangi bir c reel sayısı için, (cf)'(a) = cf'(a),
  • (fg)'(a) = f'(a)g(a) + g'(a)f(a) (Çarpım Kuralı olarak bilinir),
  • (f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - g'(a)f(a)]/g²(a) (Fark Kuralı),

Daha fazla bilgi için Türev alma kuralları maddesine bakınız.

Genellemeler [değiştir]
  • Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f' , f fonksiyonunun türeviyse ve de f", f' fonksiyonunun türeviyse o zaman f" fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.
  • Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f Karmaşık Sayılar veya p-sel Sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (mesela gene karmaşık sayılar kümesi olabilir) alıyor olabilir.
  • Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür, ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu Kısmi Türev makalesinde bulunabilir.

Türevin Uygulamaları [değiştir]
  • f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.
  • Taylor Açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların deşerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.
  • Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin Diferensiyel Denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.

Yorum Yaz
Arkadaşların Burada !
Arkadaşların Burada !